Question

某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）．
（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件）．试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；
（2）当该公司的年产量x多大时，当年所得利润y最大？

Answer

（1）由已知中某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）．根据年利润=销售额-成立，构造出该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数．
（2）根据（1）的分段函数解析式，我们分别求出各段上函数的最大值，进而得到该公司当年所得利润y的最大值，及相应的生产量．
【解析】
（1）由题意得：
（6分）
（2）当0＜x≤5时，函数对称轴为，
故x=4.75时y最大值为．                                 （3分）
当x＞5时，函数单调递减，故，（3分）
所以当年产量为475件时所得利润最大．                     （2分）