Question

设函数．（a∈R且a≠0）
（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．
（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．

Answer

（1）判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域，若定义域关于原点对称，则判断f（-x）与f（x）的关系，若f（-x）=f（x），则函数f（x）是偶函数，若f（-x）=-f（x），则函数f（x）是奇函数．
（2）首先对a进行分类讨论：当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．
【解析】
（1）当a=1时，，由1-x2≥0，
∴-1≤x≤1．所以
∵，∴，
∴f（x）为非奇非偶函数．                                     （4分）
（如举其他的反例同样给分）
当a=-2时，，由4-x2≥0，得-2≤x≤2，
所以，x∈[-2，0）∪（0，2]，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．（4分）
（2）当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数；当a＜0时，f（x）为奇函数．（2分）a＞0时，由a2-x2≥0，得-a≤x≤a，
∴，可以验证：，
∴f（x）为非奇非偶函数．（如举其他的反例同样给分）                               （3分）
a＜0时，由a2-x2≥0，得a≤x≤-a，∴，
并且对定义域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）为奇函数．（3分）