Question

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+4x+2的图象上，其中n为正整数．
（1）判断数列{a_n+2}是否为“平方递推数列”？说明理由．
（2）证明数列{lg（a_n+2）}为等比数列，并求数列{a_n}的通项．
（3）设T_n=（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n），求T_n关于n的表达式．

Answer

（1）根据点（an，an+1）在函数f（x）=x2+4x+2的图象上，可以得到数列{an}的递推关系式，再应用完全平方公式，就可得到数列{an+2}的递推关系式，根据数列{an+2}的递推关系式，可判断是否为“平方递推数列”．
（2）欲证明数列{lg（an+2）}为等比数列，只需证明此数列的后一项与前一项的比是常数，由（1）所得
an+1+2=（an+2）2，两边取常用对数，即可证明．再利用等比数列通项公式求出数列{lg（an+2）}的通项公式，进而得到数列{an}的通项公式．
（3）由（2）可求数列{lg（an+2）}的通项公式，求出数列{lg（an+2）}的前n项和，再借助对数函数的运算律，求出lgTn，把等式两边的对数符号去掉，即可得到Tn关于n的表达式．
【解析】
（1）由条件得：an+1=an2+4an+2，
∴an+1+2=an2+4an+4=（an+2）2，∴{an+2}是“平方递推数列”．
（2）由（1）得，
∴{lg（an+2）}为等比数列．                                         
∵lg（a1+2）=lg4，∴lg（an+2）=lg4•2n-1，∴
∴．                                     
（3）∵，
∴．