Question

首项为正数的数列{a_n}满足．
（1）当{a_n}是常数列时，求a₁的值；
（2）用数学归纳法证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；
（3）若对一切n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范围；
（4）以上（1）（2）（3）三个问题是从数列{a_n}的某一个角度去进行研究的，请你类似地提出一个与数列{a_n}相关的数学真命题，并加以推理论证．

Answer

（1）根据常数数列建立an=an+1，求出an即可；
（2）n=1，2时由已知得a1是奇数，假设n=k时ak是奇数，不妨设ak=2m-1是奇数，再证ak+1是奇数，根据数学归纳法得结论；
（3）证明充要条件需证明两方面，一证充分性、二证必要性，根据知，an+1＞an当且仅当an＜1或an＞3，可求出a1的取值范围，再证明即可；
（4）此题是开放题，答案不唯一，若对一切n∈N*，{an}是等差数列，求a1的取值范围．设公差d，则根据前几项进行求解即可．
【解析】
（1），∴a1=1，或a1=3（（3分），一解2分）
（2）证明：易证n=1，2时由已知得a1是奇数，
假设n=k时ak是奇数，不妨设ak=2m-1是奇数，其中m为正整数，
则由递推关系得是奇数．
根据数学归纳法，对任何n∈N+，an都是奇数．（5分）
（3）由知，an+1＞an当且仅当an＜1或an＞3．
得0＜a1＜1或a1＞3．
另一方面，若0＜ak＜1，则；若ak＞3，则．
根据数学归纳法，0＜a1＜1，⇔0＜an＜1，∀n∈N+；a1＞3⇔an＞3，∀n∈N+．
综合所述，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．（5分）
（4）此题是开放题，答案不唯一
若对一切n∈N*，{an}是等差数列，求a1的取值范围．
设公差d，则

⇒4d=2a1d+d2
d=0时由（1）知常数列，a1=1或a1=3是等差数列（3分）
d=4-2a1时，解出∴矛盾！不可能成等差数（2分）