Question

已知函数
（1）在直角坐标系中，画出函数大致图象．
（2）关于x的不等式f（x）≥k-7x²的解集一切实数，求实数k的取值范围；
（3）关于x的不等式的解集中的正整数解有3个，求实数a的取值范围．

Answer

（1）图象特征大致是过点（0，6）定义域R的偶函数，值域（0，6]，在（0，+∞）单调递减区间，然后画图大致图象即可；
（2）解法一：依题意，将k分离出来，然后利用函数的单调性研究不等式另一侧函数的最小值，从而求出k的范围；
解法二：7x4+（7-k）x2+6-k≥0对一切实数恒成立，设x2=t≥0，可转化成函数h（t）=7t2+（7-k）t+6-k（t≥0）的最小值大于等于0恒成立，建立关系式，解之即可；
（3）方法一：依题意有a＞0，所对应方程有两个同号的正根，然后根据韦达定理可知必有一个小的根x1∈（0，1）则x2∈（3，4]，利用求根公式建立关系式，解之即可；
方法二：依题意有a＞0，不等式的解集（x1，x2），根据函数的性质知道：其中x1∈（0，1）x2∈（3，4]，然后建立关系式，解之即可；
方法三：依题意有a＞0，不等式的解集（x1，x2），根据函数的性质知道：其中x1∈（0，1）x2∈（3，4]，然后建立关系式，解之即可；
方法四：数形结合，依题意有a＞0，画出符合题意的大致图形，交点的横坐标是方程的解，然后建立关系式，解之即可．
（理）
【解析】
（1）图象特征大致如下，过点（0，6）定义域R的偶函数，
值域（0，6]，在（0，+∞）单调递减区间
（2）解法一：依题意，变形为对一切实数x∈R恒成立（1分），设，k≤h（x）min（1分）
在[0，+∞）单调递减（可用函数单调性定义证明或复合函数的单调性说明）（4分
h（x）min=h（0）=6∴k≤6（1分）
解法二：6≥（k-7x2）（x2+1），7x4+（7-k）x2+6-k≥0对一切实数恒成立（1分）
设x2=t≥0，h（t）=7t2+（7-k）t+6-k（t≥0）的最小值大于等于0恒成立（1分）；
（2分）（2分）∴k≤6（1分）
（3）方法一：依题意有a＞0（1分）
不等式变形为当时不合题意，舍去                 （1分）△＞0时a2＜9，∴0＜a＜3（1分）
方程的有两根x1，x2（x1＜x2）∵，方程有两个同号的正根，且必有一个小的根x1∈（0，1）∴x2∈（3，4]，（2分）∴，（1分）
解得不等式（1分）
方法二：依题意有a＞0，（1分）
不等式的解集（x1，x2），（1分）
根据函数的性质知道：其中x1∈（0，1）x2∈（3，4]，（2分）
∴（1分）
所以（2分）
方法三：依题意有a＞0，（1分）
不等式的解集（x1，x2），（1分）
根据函数的性质知道：其中x1∈（0，1）x2∈（3，4]，（2分）
（1分）
所以（2分）
方法四数形结合
依题意有a＞0，（1分）
画出符合题意的大致图形
交点的横坐标是方程的解（2分）（2分）
所以（2分）