Question

设直线2x-y+1=0与椭圆相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB⋅k_OM为定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer

（1）欲求线段AB中点M的坐标，只需求出A，B横坐标之和，纵坐标之和，再用中点坐标公式计算即可．把直线2x-y+1=0代入椭圆中，利用韦达定理，求出x1+x2，x1x2，可得M点坐标．再用弦长公式，可求线段AB的长
（2）涉及中点弦问题，也可使用点差法解决，设A（x1，y1）、B（x2，y2），代入双曲线方程作差即可得直线斜率与中点原点连线斜率之间的关系
【解析】
（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则⇒⇒（2分）
所以
|AB|===
（2）设A、B是双曲线上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为kAB，kOM，则kAB⋅kOM为定值．
证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别代入双曲线，再相减后可得：
-=0
设M（x，y），则，代入上式可得=×
即kAB⋅kOM=
∴定值为