Question

已知、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，（a∈R），对任意正整数n，．
（1）若，求a的值；
（2）求向量；
（3）设向量，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x_n＜y_n成立．

Answer

（1）由题意，知51a+12=0，由此能求出a的值．
（2）由题意=，由此能求出结果．
（3）xn=51n+a-51，yn=3•2n-1-1，由51n+a-51＜3•2n-1-1恒成立，得a＜3•2n-1-51n+50恒成立，令an=3•2n-1-51n+50，只需求数列{an}得最小项．由此能求出最大整数a的值，使对任意正整数n，都有xn＜yn成立．
【解析】
（1）由题意，
所以51a+12=0，
解得．（5分）
（2）
=
=（10分）
（3）xn=51n+a-51，yn=3•2n-1-1，
由51n+a-51＜3•2n-1-1恒成立，
得a＜3•2n-1-51n+50恒成立，
令an=3•2n-1-51n+50，
只需求数列{an}得最小项．（13分）
由，
得6≤n≤6，
即n=6，
a6=-160，
所以a=-161．（16分）