Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点；
（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据偶函数可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中结论，可以得到函数的解析式，构造函数y=log4（4x+1）-x，分析出函数的单调性及值域，根据函数零点的判定方法，我们易确定b取不同值时，函数零点个数，进而得到答案．
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，则方程f（x）=g（x）有且只有一个实根，化简可得 有且只有一个实根，令t=2x＞0，则转化才方程 有且只有一个正根，讨论a=1，以及△=0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx
即log4（4x+1）-（k+1）x=log4（4x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=
证明：（2）由（1）得f（x）=log4（4x+1）x
令y=log4（4x+1）-x
由于y=log4（4x+1）-x为减函数，且恒为正
故当b＞0时，y=log4（4x+1）-x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线有一个交点，
当b≤0时，y=log4（4x+1）-x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线没有交点
故对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点；
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点
即方程 有且只有一个实根
化简得：方程 有且只有一个实根
令t=2x＞0，则方程 有且只有一个正根
①，不合题意；
②或-3
若 ，不合题意；若
③若一个正根和一个负根，则 ，即a＞1时，满足题意．
所以实数a的取值范围为{a|a＞1或a=-3}