Question

已知f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式整数解的个数，求g（k）；
（3）在（2）的条件下，试求一个数列{b_n}，使得．

Answer

（1）先弄清数列的项数，然后根据等差数列的通项公式求出公差d，从而求出f（an）的值，即可求出数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）将ak代入不等式，然后根据对数的运算性质进行化简变形，然后因式分解得（x-2k+1）（x-2•2k+1）≤0，从而求出x的范围，即可求出g（k）；
（3）将进行裂项得，可取bn=2n+1，然后验证是否成立．
【解析】
（1）2n+4=2+（n+1）d，
∴d=2    f（an）=2+（n+1-1）•2=2（n+1）
即log2an=2n+2，
∴an=22n+2
（2），
∴，
得，x2-3•2k+1x+22（k+1）+1≤0，即x2-3•2k+1x+2•（2k+1）2≤0，
∴（x-2k+1）（x-2•2k+1）≤0，
∴2k+1≤x≤2•2k+1
则g（k）=2k+1+1
（3），
取bn=2n+1，
则
．
∴bn=2n+1