Question

已知：函数f（x）=x³+px²+9qx+p+q+3 （x∈R）的图象关于原点对称，其中p，q是实常数．
（1）求p，q的值；
（2）确定函数f（x）在区间[-3，3]上的单调性；
（3）若当-3≤x≤3时，不等式f（x）≥10sint-49恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）利用奇函数的性质，得2px2+2（p+q+3）=0恒成立，求得p，q的值
（2）利用单调性的定义，可证明函数f（x）在区间[-3，3]上为减函数
（3）先求出函数f（x）在区间[-3，3]上的最小值，再令10sint-49比所求最小值不大，解不等式即可
【解析】
（1）由f（-x）=-f（x），得2px2+2（p+q+3）=0恒成立，∴p=0，q=-3． 
（2）f（x）=x3-27x，取-3≤x1＜x2≤3，则x12+x1x2+x22＜27．
∴f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-27）＞0，f（x）在[-3，3]为减函数． 
（3）由（2）知f（x）在区间[-3，3]上的最小值为f（3）=-54，
∴只需f（3）=-54≥10sint-49，
由，得（k∈Z）．