Question

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一个实数t，使得（n∈Z⁺），{b_n}为等差数列．有，则求出t，并予以证明；没有，则说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由an=3an-1+3n-1 （n≥2），且a3=95．先由95=3a2+33-1，求出a2=23．再由23=3a1+32-1，求出a1=5．
（2）为等差数列，必须，，成等差数列，得． 由此能够证明当时，{bn}是公差为1的等差数列．
（3），． 由．由此能求出．
【解析】
（1）∵an=3an-1+3n-1 （n≥2），且a3=95．
∴95=3a2+33-1，
解得a2=23．
23=3a1+32-1，
解得a1=5．
∴a1=5，a2=23． （2分）
（2）为等差数列，必须，，成等差数列，
得． （5分），
即，当n=1，2，3成等差．
下证此时bn对一切n∈Z+定成等差数列．
∴当时，{bn}是公差为1的等差数列． （8分）
（3），
∴． （10分）
由（12分）
 记
得：
错位相减，得． （16分）