Question

如图，已知正△A₁B₁C₁的边长是1，面积是P₁，取△A₁B₁C₁各边的中点A₂，B₂，C₂，△A₂B₂C₂的面积为P₂，再取△A₂B₂C₂各边的中点A₃，B₃，C₃，△A₃B₃C₃的面积为P₃，依此类推．记S_n=P₁+P₂+…+P_n，则=    ．

Answer

先利用边长之间的关系得出边长组成以1为首项，为公比的等比数列，进而得出三角形的面积组成以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和，再求极限．
【解析】
由题意，由于边长组成以1为首项，为公比的等比数列，
所以三角形的面积组成以为首项，为公比的等比数列，
∴Sn=P1+P2+…+Pn=
∴
故答案为