Question

函数是这样定义的：对于任意整数m，当实数x满足不等式时，有f（x）=m．
（1）求函数的定义域D，并画出它在x∈D∩[0，4]上的图象；
（2）若数列，记S_n=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n），求S_n；
（3）若等比数列{b_n}的首项是b₁=1，公比为q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范围．

Answer

（1）利用绝对值不等式的解法，解可得定义域，并画出图象．
（2）分别求出f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），考查数列{f（an ）} 的性质，再求和．
（3）由f（b1）+f（b2）+f（b3）=4得f（q）+f（q2）=3，对q分类讨论，确定q的值．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域是D={x|}={x|，m∈Z}
图象如图所示，
（2）由于，所以，
因此，；
（3）由f（b1）+f（b2）+f（b3）=4得f（q）+f（q2）=3，
当0＜q≤1时，则q2≤q≤1，所以f（q2）≤f（q）≤f（1）=1，
则f（q）+f（q2）≤2＜3，不合题意；
当q＞1时，则q2＞q＞1，所以f（q2）＞f（q）＞f（1）=1
只可能是，即，解之得．