Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M 是棱BB₁的中点，又CM⊥AC₁，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-D的大小．

Answer

（I）取B1C1的中点D1，以D点为坐标原点，以DD1所在直线为z轴，以DA所在直线为x轴，所在DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA1=m，求出直线A1B的方向向量及平面AC1D的法向量，根据两个向量数量积为0，两向量垂直，可得A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）分别求出平面AC1D的法向量和平面AC1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角C-AC1-D的余弦值，进而得到二面角C-AC1-D的大小．
证明：（I）取B1C1的中点D1，以D点为坐标原点，以DD1所在直线为z轴，
以DA所在直线为x轴，所在DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，设AA1=m，
则，
由AC1⊥CM得⇒m=2，故AA1=m=2
连A1C，则A1C∩AC1=N，连DN，易得A1B∥DN，
∵A1B⊄平面AC1D，DN⊂平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D；
（II）设平面AC1D的法向量为，
可求得，
设平面AC1C的法向量为，
可求得，
；
∴二面角C-AC1-D的大小为．