Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行．
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：．

Answer

（1）求出函数的导数，f'（x）=-3x2-4mx-m2，函数f（x）图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行，可得函数f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m的图象在x=2处的切线得斜率为-5，也即f′（2）=-5，代入f'（x）=-3x2-4mx-m2即可求解m的值．
（2）求出函数的f（x）的导数，令f′（x）=0，求出其极值点和单调区间，导数利用导数求解最值．
（3）根据f（x）=-x3+2x2-x+2=（1+x2）（2-x），由（2）的结论，可得，再根据已知条件，利用不等式间的等价转化求解．
【解析】
（1）∵f'（x）=-3x2-4mx-m2，所以f'（2）=-12-8m-m2=-5，
解得m=-1或m=-7（舍），即m=-1（3分）
（2）由f'（x）=-3x2+4x-1=0，解得，

∴函数f（x）在区间[0，1]的最小值为．

（3）∵f（x）=-x3+2x2-x+2=（1+x2）（2-x），
由（2）知，当x∈[0，1]时，，
∴，
∴．
当a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1时，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，
所以
又因为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），
所以，
故（当且仅当时取等号）．