Question

过双曲线C：的右顶点A作两条斜率分别为k₁、k₂的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点，其k₁、k₂满足关系式k_1•k₂=-m²且k₁+k₂≠0，k₁＞k₂
（1）求直线MN的斜率；
（2）当m²=时，若∠MAN=60°，求直线MA、NA的方程．

Answer

（1）由已知的双曲线方程及双曲线的性质可以求得A点坐标，由于已知过A作两条斜率分别为k1、k2的直线AM、AN交双曲线C于M、N两点，把直线MA的方程与双曲线的方程进行联立，利用韦达定理及xA=1，又k1k2=-m2可以M，N点的坐标的关系式，进而求解；
（2）由于∠MAN=60°，利用到角的定义可以知道AM到AN的角为60°或AN到AM的角为60°，进而得到两直线的斜率的关系等式，结合已知的两斜率的关系等式，联立解处斜率的数值，再利用直线的方程即可求得直线的方程．
【解析】
（1）C：的右顶点A坐标为（1，0）
设MA直线方程为y=k1（x-1），代入m2x2-y2-m2=0中，整理得（m2-k1）x2+2k12x-（k12+m2）=0）
由韦达定理可知，而xA=1，又k1k2=-m2
∴
于是
由同理可知，于是有ym=yn
∴MN∥x抽，从而MN直线率kMN=0．
（2）∵∠MAN=60°，说明AM到AN的角为60°或AN到AM的角为60°．
则或，
又，k1＞k2
从而
则求得或
因此MA，NA的直线的方程为y=x-1，
或为，y=-（x-1）．