Question

函数f（x）=x⁴-2ax²，g（x）=1．
（1）求证：函数f（x）与g（x）的图象恒有公共点；
（2）当x∈（0，1]时，若函数f（x）图象上任一点处切线斜率均小于1，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．

Answer

（1）两个函数的交点转化为一个函数与x轴的交点，转化为对应方程的有实数解，换元转化为二次方程有非负实数根，由送别式恒大于0与两根之积为负得二次方程一定有正根，问题得证．
（2）求导，由题意得导数恒小于1，分离参数a，设另一边为函数，求导得导数恒大于0，函数在（0，1]上递增，得最值，求出参数a的取值范围；
（3）把函数解析式代入不等式，考虑反面，转化为恒成立问题，设绝对值符号内的为F（x），求导，得函数单调性，结合函数图象，讨论函数在[0，1]上的单调性，进而求出最值，令最值的绝对值小于等于1，得实数a的值．
【解析】
（1）设h（x）=f（x）-g（x）
即证函数h（x）与x轴有交点，
即证方程x4-2ax2-1=0有实根，设t=x2
即证方程t2-2at-1=0有非负实数根，
而△=4a2+4＞0，t1t2=-1＜0
∴方程t4-2at-1=0恒有正根
∴f（x）与g（x）图象恒有公共点（4分）
（2）f′（x）=4x3-4ax
∵当0＜x≤1时4xa＞4x3-1恒成立
即，设y=x2-，
则y′=2x+＞0，
∴y=x2-在（0，1]上单调递增，
∴a＞1-=
∴a的取值范围为（8分）
（3）由题设知当x∈[0，1]时，|4x3-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x3-4ax
若a≤0则F（1）=4（1-a）≥4不满足条件
故a＞0而
①当时，即0＜a＜3时，F（x）在上递减，在上递增，
于是
∴，∴，∴
②当时，即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，
于是矛盾
综上所述：（14分）