Question

双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₀₈的值是（ ）
A．
B．
C．4016
D．4015

Answer

根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值等于2a，可得到Pn+1F1|-|Pn+1F2|=2，在根据|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，判断出数列{PnF1|}为等差数列，公差为2，首项为3，求出|P2008F1|，在根据双曲线的第二定义，双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离比等于离心率，求出x2008的值．
【解析】
∵Pn+1点在双曲线x2-y2=2右支上，∴|Pn+1F1|-|Pn+1F2|=2
又∵|Pn+1F2|=|PnF1|，∴|Pn+1F1|-|PnF1|=2
∴数列{PnF1|}为等差数列，公差为2
∵P1F2⊥F1F2，∴|P1F2|=，则|P1F1|=3
∴|P2008F1|=|P1F1|+2007×2=3+2007×2=4017
∵双曲线x2-y2=2的左准线方程为x=-1，离心率为，
设P2008到左准线距离为d，则=，∴d=4017
又∵d=x2008+1，∴x2008=4016
故选C