Question

口袋里有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次取出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球．
（1）求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的数学期望；
（2）设第n次由甲摸球的概率为a_n，试建立a_n与a_n-1（n≥2）的递推关系．

Answer

（1）记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则，且A，B相互独立．依据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，先分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），再求Eξ．
（2）根据摸球规则可知，第n次由甲摸秋包括如下两个事件：①第n-1次由甲摸球，且摸出红球，其发生的概率为；②第n-1次由乙摸球，且摸出白球，其发生的概率为．由此能建立an与an-1（n≥2）的递推关系．
解（1）：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B
则，且A，B相互独立
依据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
且，，
，

∴…（8分）
（2）根据摸球规则可知，第n次由甲摸秋包括如下两个事件：
①第n-1次由甲摸球，且摸出红球，
其发生的概率为；
②第n-1次由乙摸球，且摸出白球，
其发生的概率为，
∵上述两个事件互斥，
∴，
即…（12分）