Question

已知A（1，f'（1））是函数y=f（x）的导函数图象上的一点，点B为（x，ln（x+1）），向量，令．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若x＞0，证明：；
（3）若x∈[-1，1]时，不等式都恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先求出，再由向量数量积的坐标运算法则得f（x）的解析式，求导后可得f'（1），从而可得函数y=f（x）的表达式
（2）构造新函数，利用导数只需证明函数g（x）在（0，+∞）的下界大于零即可
（3）参变分离可得x∈[-1，1]时恒成立，下面只需求函数的最大值即可，利用导数可求这个值，再解不等式即可求实数m的取值范围
【解析】
（1）∵A（1，f'（1）），B（x，ln（x+1）），∴
∴f（x）=ln（x+1）+x-f'（1）-1，∴，∴∴
（2）设∴
在（0，+∞）上是增函数，又∵g（0）=0∴g（x）＞0，∴
（3）由得
设，∴∴当x∈[-1，0]时，h'（x）＞0，h（x）为递增；
当x∈[0，1]时，h'（x）＜0，h（x）为递减
∴h（x）max=h（0）=0，∴，解得m≤-1或
∴实数m的取值范围是m≤-1或