Question

设x₁，x₂∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求动点的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求的取值范围；
（3）设P（x，y）是平面上的任意一点，定义=．若在（1）中的轨迹C存在不同的两点A₁，A₂，使得d₁（A_i）=成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）动点的轨迹C的方程即，代入定义的运算，即可得轨迹C的方程
（2）由题意得y2=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，将S，T，P，Q的坐标代入
可知只需求xp+xq，xp•xq，将直线与曲线联立后即可得xp+xq，xp•xq，代入即得与m的函数关系，求范围即可
（3）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），由定义=，分别计算
d1（A1），d1（A2），d2（A1），d2（A2），d1（Ai）=成立，可转化为方程在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解，利用韦达定理得到不等式组，即可求得实数a的取值范围
【解析】
（1）设∴动点P的轨迹C的方程为：y2=4ax（y≥0）
（2）由题意得y2=8x（y≥0），设直线l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
则T（c，0）．S，T，P，Q都在直线l上，∴=，由题得c＜0，xP＞0，xQ＞0∴=
由消去y得x2-（2c+8m2）x+c2=0
∴∵c＜0，∴∴∴=＞2，
的取值范围是（2，+∞）
（3）由，d2（P）=|x-a|
设A1（x1，y1），A2（x2，y2），由已知有
故方程在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解
整理得（a-1）x2-（2a2+4a）x+a3=0在x∈[0，+∞）有两个不等的实数解∴
又∵a＞0，∴a＞1
故实数a的取值范围是（1，+∞）