Question

已知函数y=f（x）满足，且．
如果存在正项数列{a_n}满足：=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）求证：；
（3）求证：．

Answer

（1）利用，可得y=f（x）=x3-x+1（x≠0），代入f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（an）-n=a13+a23+a33+…+an3-n2an（n∈N*）．可得a1+a2+a3+…+an=n2an ．再写一式a1+a2+a3+…+an-1=（n-1）2an-1（n≥2），相减，再利用叠乘法求数列{an}的通项；
（2）由（1）得=，利用放缩法可证；
（3）利用放缩法得=
代入求和即证．
【解析】
（1），∴y=f（x）=x3-x+1（x≠0）
∵f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（an）-n=a13+a23+a33+…+an3-n2an（n∈N*）．
所以代入得a1+a2+a3+…+an=n2an ①
又a1+a2+a3+…+an-1=（n-1）2an-1（n≥2）②
①-②得 则…（4分）
（2）由（1）得=
∴…（9分）
（3）∵∴
而=
所以…（14分）