Question

在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

Answer

先判别充分性，根据三角函数相关知识和恒等变换容易得到cos（B-C）=0，从而得到即B或C为钝角，充分性成立，再判别必要性，显然由“△ABC为钝角三角形”推不出条件“cosA=2sinBsinC”，故必要性不成立．
【解析】
先证充分性：
∵2sinBsinC=cosA=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC，即cos（B-C）=0，
∴B-C=90°或-90°，
∴B或C为钝角，
∴“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件；
但是，ABC为钝角三角形显然导不出cos（B-C）=0这么强的条件，
故“cosA=2sinBsinC”不是“△ABC为钝角三角形”的必要条件，
则“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．
故选B