Question

已知等轴双曲线C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点． 过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，．
（1）求等轴双曲线C的方程；
（2）假设过点F且方向向量为的直线l交双曲线C于A、B两点，求的值；
（3）假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P，使得为常数．若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据P点为过F作一条渐近线的垂线FP的垂足，以及，可求出双曲线中c的值，借助双曲线中a，b，c的关系，得到双曲线方程．
（2）根据直线l的方向向量以及f点的坐标，可得直线l的方程，与双曲线方程联立，解出x1+x2，x1x2的值，代入中，即可求出的值．
（3）先假设存在定点P，使得为常数，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，解x1+x2，x1x2，用含k的式子表示，再代入中，若为常数，则结果与k无关，求此时m的值即可．
【解析】
（1）设右焦点坐标为F（c，0），（c＞0），
∵双曲线为等轴双曲线，∴渐近线必为y=±x
由对称性可知，右焦点F到两条渐近线距离相等，且∠POF=．
∴△OPF为等腰直角三角形，则由||=⇒||=c=2
又∵等轴双曲线中，c2=2a2⇒a2=2
∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=2
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点
∵F（2，0），直线l的方向向量为=（1，2），
∴直线l的方程为，即y=2（x-2）
代入双曲线C的方程，可得，x2-4（x-2）2=2⇒3x2-16x+18=0
∴x1+x2=，x1x2=6，
而=x1x2+y1y2=x1x2+（x1-2）（x2-2）=5x1x2-8（x1+x2）+16=
（3）假设存在定点P，使得为常数，
其中，M（x1，y1），N（x2，y2）为双曲线C与直线l的两个交点的坐标，
①当直线l与x轴不垂直是，设直线l的方程为y=k（x-2），
代入双曲线C的方程，可得（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0
由题意可知，k=±1，则有x1+x2=，x1x2=
∴=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）
=（4k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2
=+4k2+m2
=+m2=+m2+2（1-2m）
要使是与k无关的常数，当且仅当m=1，此时，=-1
②当直线l与x轴垂直时，可得点M（2，），N（2，-）
若m=1，=-1亦为常数
综上可知，在x轴上是否存在定点P（1，0），使得=-1为常数．