Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x³+5ax²+4a²x+b．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函数f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；
（Ⅲ）如果对满足1＜a≤3的一切实数a，函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由-1≤x≤0得到-x的范围，因为函数为奇函数，所以得到f（x）=-f（-x），把-x代入f（x）的解析式即可确定出f（x）在0＜x≤1时的解析式，且得到f（0）=0，；联立可得f（x）的分段函数解析式；
（Ⅱ）当x大于0小于等于1时，求出f（x）的导函数等于0时x的值，利用x的值分大于小于1和大于等于1小于等于2两种情况考虑导函数的正负，得到函数的单调区间，利用函数的增减性分别求出相应的最大值g（a），联立得到g（a）的分段函数表达式；
（Ⅲ）要使函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必须f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．也即是对满足1＜a≤3的实数a，g（a）的最大值要小于或等于0．由（Ⅱ）求出g（a）的解析式，分a大于1小于和a大于等于小于等于3两种情况考虑g（a）的解析式，分别求出相应g（a）的导函数，利用导函数的正负判断g（a）的单调性，根据g（a）的增减性得到g（a）的最大值，利用g（a）的最大值列出关于b的不等式，求出两不等式的公共解集即可满足题意的b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，则
f（x）=-f（-x）=2x3-5ax2+4a2x-b．
当x=0时，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；
∴f（x）=；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，f′（x）=6x2-10ax+4a2=2（3x-2a）（x-a）=6（x-）（x-a）．
①当＜＜1，即1＜a＜时，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，1]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，）单调递增，在（，1]上单调递减，
∴g（a）=f（）=a3-b．
②当1≤≤2，即≤a≤3时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]单调递增．
∴g（a）=f（1）=4a2-5a+2-b，
∴g（a）=
（Ⅲ）要使函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必须f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．
也即是对满足1＜a≤3的实数a，g（a）的最大值要小于或等于0．
①当1＜a≤时，g′（a）=a2＞0，此时g（a）在（1，）上是增函数，
则g（a）＜-b=-b．∴-b≤0，解得b≥；
②当≤a≤3时，g′（a）=8a-5＞0，此时，g（a）在[，3]上是增函数，g（a）的最大值是g（3）=23-b．
∴23-b≤0，解得b≥23．
由①、②得实数b的取值范围是b≥23．