Question

已知a_n=2ⁿ+3ⁿ，b_n=a_n+1+ka_n，若{b_n}是等比数列，则k=    ．

Answer

利用等比中项的性质可推断出（an+1+kan）2=（an+2+kan+1）（an+kan-1），整理后求得k的值．
【解析】
因为{bn} 是等比数列，故有
  （an+1+kan）2=（an+2+kan+1）（an+kan-1），
将an=2n+3n代入上式，得
[2n+1+3n+1+k（2n+3n）]2
=[2n+2+3n+2+k（2n+1+3n+1）]•[2n+3n+k（2n-1+3n-1）]，
即[（2+k）2n+（3+k）3n]2
=[（2+k）2n+1+（3+k）3n+1][（2+k）2n-1+（3+k）3n-1]，
整理得 （2+k）（3+k）•2n•3n=0，
解k-=2或k=-3．
故答案为：-2或-3