Question

如图，同一平面内的三条平行直线l₁，l₂，l₃，l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为2，若正三角形的三个顶点A、B、C分别在这三条直线上，则此正三角形的面积为    ．

Answer

欲求正三角形的面积，只需求出正三角形的边长，而在几何中求三角形的边长，须把它放入其它三角形中通过解三角形来求，可过B点作直线EF垂直与l1，l2，l3，交l1于点E，交l3于F，的到的两个直角三角形△ABE与△CBF中，都含有正三角形的边长，且∠ABE+∠CBF=120°，就可借助这两个三角形中的边角关系，求出正三角形边长，再用三角形的面积公式求出面积．
【解析】
过B点作直线EF垂直与l1，l2，l3，交l1于点E，交l3于点F，
则BE=1，BF=2，设正三角形ABC边长为a
设∠ABE=θ，则∠CBF=120°-θ
在Rt△ABE中，BE=ABcosθ=acosθ=1
在Rt△CBF中，BF=BCcos（120°-θ）=a（cos120°cosθ+sin120°sinθ）=2
解得，tanθ=
∴cosθ=，∴a=
∴S△ABC=a2sin60°==
故答案为