Question

下列函数中，在其定义域内，既是单调递增函数，又是奇函数的是（ ）
A．f（x）=sinx+x²
B．f（x）=
C．
D．f（x）=3^x-3^-x

Answer

C：因为函数的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，所以此函数不具有奇偶性．
A：因为函数不满足f（-x）≠-f（x），所以此函数在定义域内不是奇函数．
B：由函数的解析式可得：f′（x）=1-≥0在其定义域内不是恒成立，所以函数在定义域内不是单调递增函数．
D：由题意可得f（-x）=-f（x），并且f′（x）=＞0恒成立，所以此函数既是单调递增函数，又是奇函数．
【解析】
根据函数奇偶性的定义可得：若函数具有奇偶性则其定义域关于原点对称，因为函数的定义域为（0，+∞），所以此函数不具有奇偶性，所以C答案错误．
A：因为函数的解析式为f（x）=sinx+x2，所以f（-x）≠-f（x），所以此函数在定义域内不是奇函数，所以A错误．
B：由函数f（x）=可得：f′（x）=1-，所以f′（x）=1-≥0在其定义域内不是恒成立，所以函数在定义域内不是单调递增函数，所以B错误．
D：由函数f（x）=3x-3-x可得f（-x）=-f（x），并且f′（x）=＞0恒成立，所以此函数既是单调递增函数，又是奇函数，所以D正确．
故选D．