Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，N、M分别为B₁C₁、BB₁的中点，且异面直线MN与AC所成的角为arccos，求长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer

方法一：利用空间向量来解，建立空间直角坐标系，求出向量，的坐标，用含长方体的高h的式子表示，因为异面直线MN与AC所成的角为arccos，所以再利用向量夹角的计算公式，即可求出长方体的高，再利用长方体的体积公式，求出体积．
方法二：先利用平移，找到异面直线MN与AC所成的角的平面角，利用异面直线MN与AC所成的角为arccos，求出长方体的高，再利用长方体的体积公式，求出体积．
【解析】
方法一：如图建立空间直角坐标系，设 AA1=h
则A（4，00），C（0，2，0），M（4，2，），N（2，2，h）
，
因为异面直线AC与MN的夹角为arccos，
则cosθ==
得：8=，即h=8
所以长方体的体积V=2×4×8=64
方法二：连接AC，AD1，CD1，设 AA1=h
因为AD1∥MN，所以∠CAD1为异面直线MN与AC所成的角，
在△CAD1中，CA=2，AD1=，CD1=
由余弦定理得h=8，
所以长方体的体积V=2×4×8=64