Question

已知函数f（x）=1-2^-x（x∈R）．
（1）求y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）求不等式2log₂（x+1）+f^-1（x）≥0的解集．

Answer

（1）该题考查指数式和对数式的互化及反函数的求法，利用反函数的定义结合指对互化即可获得．
（2）将反函数的解析式代入不等式，然后根据对数运算法则进行化简变形，求出不等式的解集，注意定义域优先的原则．
【解析】
（1）【解析】
由y=1-2-x得-x=log2（1-y），即：x=-log2（1-y），
又∵原函数的值域是{y|y＜1}，
∴函数y=1-2-x（x∈R）的反函数是y=-log2（1-x），（x＜-1）．
∴y=f-1（x）=-log2（1-x），（x＜-1）．…（6分）
（2）由2log2（x+1）-log2（1-x）≥0得（x+1）2≥1-x，（10分）
解得x≥0或x≤-3 …（12分）
又因为定义域为{x|-1＜x＜1}，所以不等式的解集是{x|0≤x＜1}（14分）