Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形且垂直于底面，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角B-B₁C₁-A₁的正切值；
（3）求三棱锥M-A₁CB的体积．

Answer

（1）根据△BA1B1是等边三角形，BM⊥A1B1 ，面ABB1A1垂直于底面，可得BM⊥面 A1B1C1 ，从而得到BM⊥面ABC，
BM⊥AC．
（2）作MN⊥B1C1 ，证明∠MNB为二面角B-B1C1-A1的平面角，由Rt△MNB中，tan∠MNB=，运算求得结果．
（3）三棱锥M-A1CB的体积 VM-A1CB=VC-A1MB=，把点C到面A1BM的距离h即等边
三角形ABC的高，代入公式运算求得结果．
【解析】
（1）∵侧面ABB1A1是菱形，∠A1AB=60°，M是A1B1的中点，
∴△BA1B1是等边三角形，BM⊥A1B1 ．
再由面ABB1A1垂直于底面，可得BM⊥面 A1B1C1 ．
故BM⊥面ABC，∴BM⊥AC．
（2）作MN⊥B1C1 ，由三垂线定理可得BN⊥B1C1 ，故∠MNB为二面角B-B1C1-A1的平面角．
MN=BMsin60°==，BM=BB1sin60°=．
Rt△MNB中，tan∠MNB==2．
所求二面角的正切值是2．
（3）三棱锥M-A1CB的体积 VM-A1CB=VC-A1MB=，
而h是点C到面A1BM的距离，即等边三角形ABC的高为，
∴三棱锥M-A1CB的体积为 =．