Question

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{a_n}满足a_n＞0，且a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的前

Answer

（1）根据函数f（x）是偶函数判断f（-x）=f（x），把函数解析式代入求得f（x）=3x2+1，根据g（x）是奇函数求得c，则g（x）的解析式可得．代入f（an+an+1）-g（an+1an+an2）=1中，整理得进而判断出数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，进而求得数列的通项公式．
（2）利用等比数列的求和公式根据（1）中的通项公式求得前n项和的极限值．
【解析】
（1）∵f（x）=3x2+bx+1是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即3（-x）2+b（-x）+1=3x2+bx+1，b=0．
∴f（x）=3x2+1．
∵g（x）=5x+c是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即5（-x）+c=-（5x+c），c=0．
∴g（x）=5x．
f（an+an+1）-g（an+1an+an2）=3（an+an+1）2+1-5（an+1an+an2）=1．
∴3an+12+anan+1-2an2=0．
∴
∴数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，
∴的通项公式为
（2）由（I）可求得