Question

已知函数f（x）=x|x-1|-1．
（1）求满足f（x）=x的x值；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间；
（3）解不等式f（x）＜0（结果用区间表示）．

Answer

（1）讨论x的范围，将绝对值去掉得到分段函数，然后求解方程f（x）=x，即可求出满足条件的x；
（2）分段研究该函数的单调性，从而求出该函数的单调区间；
（3）当x≥1时，解不等式x2-x-1＜0，当x＜1时，由-x2+x-1＜0得x2-x+1＞0，恒成立，从而求出满足条件的x的范围．
【解析】
（1），…（1分）
所以，当x≥1时，由f（x）=x得x2-x-1=x，x2-2x-1=0，解得，
因为x≥1，所以．…（2分）
当x＜1时，由f（x）=x得-x2+x-1=x，x2=-1，无实数解．…（3分）
所以，满足f（x）=x的x值为．…（4分）
（2）由，
当x≥1时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞）；…（6分）
当x＜1时，f（x）的单调递增区间为．…（8分）
所以，f（x）的单调递增区间是和[1，+∞）．…（9分）
（3）当x≥1时，由x2-x-1＜0得，…（12分）
当x＜1时，由-x2+x-1＜0得x2-x+1＞0，恒成立．…（15分）
所以，不等式f（x）＜0的解集为．…（16分）