Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，对任意n∈N*，点（n，S_n）都在函数f（x）=2x²-x的图象上．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设，且数列b_n是等差数列，求非零常数p的值；
（3）设，T_n是数列c_n的前n项和，求使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m．

Answer

（1）对所有n∈N*，Sn=2n2-n，所以a1=S1=1，an=Sn-Sn-1=4n-3，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）bn=，由{bn}是等差数列，设bn=an+b，所以=an+b，于是2n2-n=an2+（ap+b）n+bp，由此能求出非零常数p的值．
（3）cn=，所以Tn=c1+c2+…+cn=
=，由Tn＜，得m＞，由此能求出最小正整数m的值．
【解析】
（1）由已知，对所有n∈N*，Sn=2n2-n，（1分）
所以当n=1时，a1=S1=1，（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-3，（3分）
因为a1也满足上式，所以数列{an}的通项公式为
an=4n-3（n∈N*）．（4分）
（2）由已知bn=，（5分）
因为{bn}是等差数列，可设bn=an+b（a、b为常数），（6分）
所以=an+b，于是2n2-n=an2+（ap+b）n+bp，
所以，（8分）
因为P≠0，所以b=0，p=．（10分）
（注：用bn+1-bn为定值也可解，或用其它方法解，可按学生解答步骤适当给分）
（3）cn=，（12分）
所以Tn=c1+c2+…+cn
=
=
（14分）
由Tn＜，得m＞，
因为，所以m≥10．
所以，所求的最小正整数m的值为10．（16分）