Question

已知函数f（x）=．
（1）写出函数f（x）的定义域，并证明函数f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用函数单调性定义给出证明．

Answer

（1）根据函数解析式的特性只需接不等式即可．而要证明函数f（x）是奇函数需先说明定义域关于原点对称再说明f（-x）=f（x）．
（2）可先利用函数单调性的定义给出证明再给出判断．
【解析】
（1）∵f（x）=
∴
∴-1＜x＜1即定义域为（-1，1）
又∵定义域为（-1，1）关于原点对称且f（-x）=（-x）+=-x+=-（x+）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数
（2）函数f（x）在定义域内的单调递增．理由如下：
任取x1，x2∈（-1，1）且x1＜x2则f（x1）-f（x2）=（）-（）
=（x1-x2）+（）
∵x1，x2∈（-1，1），x1＜x2
∴x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0且＜0
∴
又∵y=lgx在（0，+∞）单调递增
∴
∴＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在（-1，1）单调递增．