Question

在直角坐标系中，已知点列P₁（1，-），P₂（2，），P₃（3，-），…，P_n（n，），…，其中n是正整数．连接P₁ P₂的直线与x轴交于点X₁（x₁，0），连接P₂ P₃的直线与x轴交于点X₂（x₂，0），…，连接P_n P_n+1的直线与x轴交于点X_n（x_n，0），…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）依次记△X₁P₂X₂的面积为S₁，△X₂P₃X₃的面积为S₃，…，△X_nP_n+1X_n的面积为S_n，…试求无穷数列{S_n}的各项和．

Answer

（1）由题设知直线PnPn+1的方程为：=，令y=0，得xn=x=．
（2）由，知数列{an}是首项为，公比为的等比数列，由此能求出无穷数列{Sn}的各项和．
【解析】
（1）∵Pn（n，），Pn+1（n+1，），
∴直线PnPn+1的方程为：=，
∴令y=0，得，
整理，得x-n=，
∴xn=x=．
即．
（2）由题设条件能够导出，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
∴S=Sn==．