Question

某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f（t）与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：，其中，代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且．
（1）求g（t）的值域；
（2）求f（t）的最大值M（a）的表达式；
（3）若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由．

Answer

（1）先根据t的范围求出|t-18|的范围，进而求出|t-18|的范围，然后结合三角函数的性质求出g（t）的值域；
（2）由题意先求出f（t）的解析式，然后在区间[0，]和（，]上讨论绝对值的取值得到M（a）的解析式为分段函数；
（3）利用（2）的结论，分时和时分别讨论M（a）的最值与2的关系即可．
【解析】
（1）因为0≤t≤24，
得到|t-18|∈[，]，
根据正弦函数的性质得到g（t）的值域为[0，]；
（2）由（1）可知g（t）的值域为[0]，f（t）的最大值M（a），
当a∈[0，]时，M（a）=|+-a|+2a=a+；
当a∈（，]时，M（a）=|-a|+2a=3a-．
则有M（a）=；
（3）当时，M（a）=≤+=＜2；
当时，M（a）=≤．
所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标．