Question

顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B亮点，点M和N分别为A、B两点在抛物线准线l上的射影．准线l与x轴的交点为E．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）某学习小组在计算机动态数学软件的帮助下，得到了关于抛物线C性质的如下猜想：“直线AN和BM恒相交于原点O”，试证明该结论是正确的；
（3）该小组孩项研究抛物线C中∠AEB的大小范围，试通过计算的结果来给出一个你认为正确的与∠AEB有关的推论，并说明理由．

Answer

（1）由题意可可设抛物线的方程y2=2px（p＞0）由抛物线C过点P（4，4）可求p，进而可求抛物线方程
（2）可证当 x1≠x2时，kOA=kON，说明A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程，结合方程的根与系数关系可求，当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
【解析】
（1）由题意可可设抛物线的方程y2=2px（p＞0）
∵抛物线C过点P（4，4）∴p=2
∴y2=4x
（2）当 x1≠x2时，kOA=kON，所以此时A、O、N三点共线；当 x1=x2时，不难得到ABNM为矩形，且有对称性可知点O为对角线AN、BM的交点，所以此时A、O、N三点共线．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB过焦点F且F（1，0），
当 x1≠x2时，AB所在的直线的方程y=k（x-1），k≠0，代入抛物线方程可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
所以
当 x1=x2时，AB所在的直线垂直于x轴，不难求得AF=EF=EB=2，故此时∠AEB=90°
综上，可提出推论“∠AEB只能是锐角或直角”