Question

抛物线y²=4x的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为的直线l与线段OA相交（l不过点O和点A）且交抛物线于M、N两点，则△AMN的最大面积为    ．

Answer

根据斜率设出直线l的方程：y=x+b，S=|AB|×|y1-y2|，将直线方程与抛物线方程联立，表示出|y1-y2|==，进而求出面积的最大值．
【解析】
设直线l：y=x+b，直线与x轴交点坐标为B（-b，0），
|AB|=|5+b|，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立y=x+b和y2=4x得y2-4y+4b=0   
∴|y1-y2|==
三角形AMN的最大面积S=|AB|×|y1-y2|=2|5+b|×=
[-b3-9b2-15b+25]'=-3b2-18b-15=0，∴b=-1或b=-5（舍）
∴b=-1时，最大面积S==
故答案为：．