Question

在双曲线中，F为右焦点，B为左顶点．点A在x轴正半轴上，且满足|OA|，|OB|，|OF|成等比数列．过F作C位于一、三象限内的渐近线的垂线，垂足为P．
（1）求证：；
（2）若，，过点（0，-2）的直线l与双曲线C交于不同两点M与N，O为坐标原点．求的取值范围．

Answer

（1）先由|OA|，|OB|，|OF|成等比数列求出A点坐标．再由过F作C，位于一、三象限内的渐近线的垂线，垂足为P，求得p点坐标，根据P、A点坐标得PA⊥OF，再把要证明的结论变形即可．
（2）由给出的条件先求出双曲线C的方程，设直线l的方程y=kx-2；再把用M和N的坐标表示，即含k的代数式，利用直线和双曲线的方程有两不等根，即△＞0，解得k的范围，从而求出的范围．
【解析】
（1）设A（x，0），x＞0．而F（c，0），B（-a，0）．
由题意得，a2=x•c，所以，即．
双曲线位于一、三象限的渐近线方程为，其过F的垂线为，
联立两直线方程可求出．
可见PA⊥OF，所以．
（2）因为，，所以
设l：y=kx-2代入双曲线方程得（3-k2）x2+4kx-16=0，又设M（x1，y1），N（x2，y2）
则，
由韦达定理，上式=．再由△=16k2+4×16（3-k2）＞0⇒0≤k2＜4且k2≠3，
由此可求出的范围是