Question

对于函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

Answer

（1）设x为不动点，则有2x2-x-4=x，变形为2x2-2x-4=0，解方程即可．
（2）将f（x）=x转化为ax2+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，则有△x＞0恒成立求解；
（3）由垂直平分线的定义解决，由A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，则有kAB=1，再由直线是线段AB的垂直平分线，得到k=-1，再由中点在直线上求解．
解∵f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x2-x-4．
设x为其不动点，即2x2-x-4=x．
则2x2-2x-4=0．∴x1=-1，x2=2．即f（x）的不动点是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，△x＞0恒成立，即b2-4a（b-2）＞0．即b2-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．∴△b＜0．，∴16a2-32a＜0，∴0＜a＜2．
（3）设A（x1，x1），B（x2，x2），
直线是线段AB的垂直平分线，∴k=-1
记AB的中点M（x，x）．由（2）知，∵，∴．
化简得：时，等号成立）．
即0＞．即[-）．