Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，，满足f=af（b）+bf（a），
考查下列结论：
（1）f（0）=f（1）；
（2）f（x）为偶函数；
（3）数列{a_n}为等比数列；
（4）．
其中正确的是    ．

Answer

（1）令x=y=0，可得f（0）=f（0•0）=0，令x=y=1，可得f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，可知正确；
（2）用特例，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），故f（x）不是偶函数，
（3）把第三个条件两边同乘n化为整式形式，用第一个式子逐渐展开，得到等比数列，通过第二步整理，可得第三个结论正确．
（4）bn=n，利用极限的定义可求
【解析】
对于（1），∵f（0）=f（0•0）=0，f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0，故（1）正确；
对于（2），∵f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，故（2）错；
对于（3），f（2n）=f（2•2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n=…=n•2n，
∴bn=n，，∴f（2n）=n×2n，∴an=2n
故数列{an}是等比数列，故（3）正确；
对于（4），bn=n，，故（4）正确．