Question

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．

Answer

（I）由题意设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0）利用的取值范围所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．是，得到a，b的方程，求解即可；
（II）有的平分线平行，所以∠PCQ的平分线垂直于x轴，进而建立方程，解出C点，再设出PC方程进而得到QC的方程，把它与椭圆方程联立得到直线PQ的斜率，与直线AB比较即可求证．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），
其中，．
从而．
由于，
即．
又已知，
所以
从而椭圆的方程是．

（Ⅱ）因为的平分线平行，
所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．
由
解得．
不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，
因此PC和QC的方程分别为y=k（x-1）+1，y=-k（x-1），
其中
消去y并整理得（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0（*）．
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根．
从而，同理，
从而直线PQ的斜率为．
又知A（2，0），B（-1，-1），
所以，
∴向量与共线．