Question

已知向量，其中，（x，y，c∈R），把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ） 求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ） 已知数列{a_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n项和等于S_n²，”求数列{a_n}的通项式；
（Ⅲ） 若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的最小值．

Answer

（Ⅰ）根据向量平行得出函数y=f（x），再利用函数f（x）为奇函数，可求c=1，从而可得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ） 根据条件对于任意n∈N*，都有“{f（an）}的前n项和等于Sn2，写出两等式，两式相减可得∴{an}为公差为1的等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）根据an=n（n∈N*），可得bn=4n-a•2n+1=（2n-a）2-a2，由于2n≥2，故需对a进行分类讨论．
【解析】
（Ⅰ）∵∴，
因为函数f（x）为奇函数．所以c=1，⇒f（x）=x3（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，f（a1）+f（a2）+…+f（an）=Sn2⇒a13+a23+a33+…+an3=Sn2…..①
n≥2时∴a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12…②
由①-②可得：an3=Sn2-Sn-12=an（Sn+Sn-1），
∵{an}为正数数列∴an2=Sn+Sn-1…③…（2分）∴an+12=Sn+1+Sn…④
由④-③可得：an+12-an2=an+1+an∵an+1+an＞0，∴an+1-an=1，…（2分）
且由①可得a13=a12，a1＞0⇒a1=1，a13+a23=S22，a2＞0⇒a2=2，∴a2-a1=1∴{an}为公差为1的等差数列，∴an=n（n∈N*）…（2分）
（Ⅲ）∵an=n（n∈N*），∴bn=4n-a•2n+1=（2n-a）2-a2（n∈N*）…（2分）
令2n=t（t≥2），∴bn=（t-a）2-a2（t≥2）
（1）当a≤2时，数列{bn}的最小值为：当n=1时，b1=4-4a．…（2分）
（2）当a＞2时
①若a=2k+1（k∈N*）时，数列{bn}的最小值为当n=k+1时，bk+1=-a2．…（1分）
②若时，数列{bn}的最小值为，当n=k或n=k+1时，bk=bk+1=（2k-a）2-a2．…（1分）
③若时，数列{bn}的最小值为，当n=k时，bk=（2k-a）2-a2…（1分）
④若时，数列{bn}的最小值为，当n=k+1时，bk+1=（2k+1-a）2-a2．…（1分）