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已知函数f(x)=log2x. (1)若f(x)的反函数是f-1(x),解方程:...

已知函数f(x)=log2x.
(1)若f(x)的反函数是f-1(x),解方程:f-1(2x+1)=3f-1(x)-1;
(2)当x∈(3m,3m+3](m∈N)时,定义g(x)=f(x-3m).设an=n•g(n),数列{an}的前n项和为Sn,求a1、a2、a3、a4和S3n
(3)对于任意a、b、c∈[M,+∞),且a≥b≥c.当a、b、c能作为一个三角形的三边长时,f(a)、f(b)、f(c)也总能作为某个三角形的三边长,试探究M的最小值.
(1)由题设知,g(2x)=3g(x)+6,, 由此能求出原方程的解为x=log25. (2)若1∈(3m,3m+3],m=0,能导出a1=0;若2∈(3m,3m+3],m=0,能导出a2=2;若3∈(3m,3m+3],m=0,能导出a3=3log23;若4∈(3m,3m+3],m=1,能导出a4=0;当n=3m+1(m∈N)时,能导出an=0;当n=3m+2(m∈N)时,能导出an=n;当n=3m+3(m∈N)时,能导出an=nlog23.由此能求出S3n. (3)由题意知,c+b>a,若f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长⇔log2c+log2b>log2a⇔bc>a,bc≥b+c⇔(b-1)(c-1)≥1.当b≥2,c≥2时,有(b-1)(c-1)≥1成立,则一定有bc>a成立.由此能够导出M的最小值为2. 【解析】 (1)∵函数y=g(x)是函数y=f(2x+1)的反函数,f(x)=log2x ∴,而g(2x)=3g(x)+6 ∴, 即22x-3•2x-10=0(2分)(2x+2)•(2x-5)=0,∴2x=5 故:原方程的解为x=log25(2分) (2)若1∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(1)=f(1)=0,∴a1=1×0=0 若2∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(2)=f(2)=1,∴a2=2×1=2 若3∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(3)=f(3)=log23,∴a3=3log23 若4∈(3m,3m+3],∴m=1,∴φ(4)=f(1)=0,∴a4=4×0=0(2分) 当n=3m+1(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(1)=0,∴an=n×0=0 当n=3m+2(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(2)=1,∴an=n×1=n 当n=3m+3(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(3)=log23,∴an=nlog23(2分)S3n=a1+a2+a3+a4+…+a3n =1×0+2×1+3×log23+4×0+5×1+…+3nlog23 =(2+5+8+…+3n-1)×1+(3+6+9+…+3n)log23 = =(2分) (3)由题意知,c+b>a ∵f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长, ∴log2c+log2b>log2a, ∴bc>a(2分) ∵bc≥b+c, ∴(b-1)(c-1)≥1 当b≥2,c≥2时,有(b-1)(c-1)≥1成立,则一定有bc>a成立.(2分) ∵log2c>0, ∴c>1,即0<M≤1不合题意.(2分) 又当1<M<2时,取b=M,c=M,a=M2,有M+M>M2,即b+c>a, 此时a,b,c可作为一个三角形的三边长,但log2M+log2M=2log2M=log2M2, 即f(b)+f(c)=f(a),所以f(a)、f(b)、f(c)不能作为三角形的三边长. 综上所述,M的最小值为2.(2分) 解法2:a≥b≥c,由题意知,b+c>a ∵f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长 ∴log2b+log2c>log2a, ∴bc>a 设a=c+p1,b=c+p2p1≥p2≥0 ∵p1=0⇒p2=0, ∴a=b=c>1,f(a),f(b),f(c)显然能作为某个三角形三边长 若p1≠0,由(1)知c>p1-p2. 由(2)知bc>a, ∴= 而c+p2>p1,则 故:c≥2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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