Question

已知函数f（x）=log₂x．
（1）若f（x）的反函数是f^-1（x），解方程：f^-1（2x+1）=3f^-1（x）-1；
（2）当x∈（3m，3m+3]（m∈N）时，定义g（x）=f（x-3m）．设a_n=n•g（n），数列{a_n}的前n项和为S_n，求a₁、a₂、a₃、a₄和S_3n；
（3）对于任意a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c．当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试探究M的最小值．

Answer

（1）由题设知，g（2x）=3g（x）+6，，
由此能求出原方程的解为x=log25．
（2）若1∈（3m，3m+3]，m=0，能导出a1=0；若2∈（3m，3m+3]，m=0，能导出a2=2；若3∈（3m，3m+3]，m=0，能导出a3=3log23；若4∈（3m，3m+3]，m=1，能导出a4=0；当n=3m+1（m∈N）时，能导出an=0；当n=3m+2（m∈N）时，能导出an=n；当n=3m+3（m∈N）时，能导出an=nlog23．由此能求出S3n．
（3）由题意知，c+b＞a，若f（a），f（b），f（c）能作为某个三角形的三边长⇔log2c+log2b＞log2a⇔bc＞a，bc≥b+c⇔（b-1）（c-1）≥1．当b≥2，c≥2时，有（b-1）（c-1）≥1成立，则一定有bc＞a成立．由此能够导出M的最小值为2．
【解析】
（1）∵函数y=g（x）是函数y=f（2x+1）的反函数，f（x）=log2x
∴，而g（2x）=3g（x）+6
∴，
即22x-3•2x-10=0（2分）（2x+2）•（2x-5）=0，∴2x=5
故：原方程的解为x=log25（2分）
（2）若1∈（3m，3m+3]，∴m=0，∴φ（1）=f（1）=0，∴a1=1×0=0
若2∈（3m，3m+3]，∴m=0，∴φ（2）=f（2）=1，∴a2=2×1=2
若3∈（3m，3m+3]，∴m=0，∴φ（3）=f（3）=log23，∴a3=3log23
若4∈（3m，3m+3]，∴m=1，∴φ（4）=f（1）=0，∴a4=4×0=0（2分）
当n=3m+1（m∈N）时，φ（n）=f（n-3m）=f（1）=0，∴an=n×0=0
当n=3m+2（m∈N）时，φ（n）=f（n-3m）=f（2）=1，∴an=n×1=n
当n=3m+3（m∈N）时，φ（n）=f（n-3m）=f（3）=log23，∴an=nlog23（2分）S3n=a1+a2+a3+a4+…+a3n
=1×0+2×1+3×log23+4×0+5×1+…+3nlog23
=（2+5+8+…+3n-1）×1+（3+6+9+…+3n）log23
=
=（2分）
（3）由题意知，c+b＞a
∵f（a），f（b），f（c）能作为某个三角形的三边长，
∴log2c+log2b＞log2a，
∴bc＞a（2分）
∵bc≥b+c，
∴（b-1）（c-1）≥1
当b≥2，c≥2时，有（b-1）（c-1）≥1成立，则一定有bc＞a成立．（2分）
∵log2c＞0，
∴c＞1，即0＜M≤1不合题意．（2分）
又当1＜M＜2时，取b=M，c=M，a=M2，有M+M＞M2，即b+c＞a，
此时a，b，c可作为一个三角形的三边长，但log2M+log2M=2log2M=log2M2，
即f（b）+f（c）=f（a），所以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
综上所述，M的最小值为2．（2分）
解法2：a≥b≥c，由题意知，b+c＞a
∵f（a），f（b），f（c）能作为某个三角形的三边长
∴log2b+log2c＞log2a，
∴bc＞a
设a=c+p1，b=c+p2p1≥p2≥0
∵p1=0⇒p2=0，
∴a=b=c＞1，f（a），f（b），f（c）显然能作为某个三角形三边长
若p1≠0，由（1）知c＞p1-p2．
由（2）知bc＞a，
∴=
而c+p2＞p1，则
故：c≥2．