Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，又函数y=f（x）在区间[-1，1]上是奇函数，又知y=f（x） 在区间[0，1]上的图象是线段、在区间[1，4]上的图象是一个二次函数图象的一部分，且在x=2时，函数取得最小值-5．求：
（1）f（1）+f（4）的值；
（2）y=f（x）在x∈[1，4]上的函数解析式；
（3）y=f（x）在x∈[4，9]上的函数解析式．

Answer

（1）函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，T=5，所以f（4）=f（-1），而函数y=f（x）在区间[-1，1]上是奇函数，所以f（-1）=-f（1），由此能求出f（1）+f（4）的值．
（2）当x∈[1，4]时，令f（x）=a（x-2）2-5，由f（1）+f（4）=0得a=2，由此能求出f（x）．
（3）函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数，y=f（x）在[0，1]上是一次函数，令y=kx．由f（1）=-3，可知k=-3，由此分类讨论能够求出f（x）．
【解析】
（1）函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，T=5，所以f（4）=f（-1），…（2分）
而函数y=f（x）在区间[-1，1]上是奇函数，所以f（-1）=-f（1），…（3分）
所以f（1）+f（4）=0；…（4分）
（2）当x∈[1，4]时，令f（x）=a（x-2）2-5，…（5分）
由f（1）+f（4）=0得a=2，…（7分）
所以f（x）=2x2-8x+3（1≤x≤4），…（8分）
（3）函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，
令y=kx，（k≠0，-1≤x≤1），…（9分）
由（2）得：f（1）=-3，可知k=-3，…（10分）
由0≤x≤1时，y=-3x，可推知y=-3x，-1≤x≤1，…（11分）
当4≤x≤6时，-1≤x-5≤1，所以f（x）=f（x-5）=-3x+15；…（13分）
当6＜x≤9时，1＜x-5≤4，所以f（x）=f（x-5）=2（x-7）2-5．…（15分）
所以f（x）=．…（16分）