Question

已知函数f（x）=log_a在定义域D上是奇函数，（其中a＞0且a≠1）．
（1）求出m的值，并求出定义域D；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．

Answer

（1）由函数f（x）是奇函数，可得出f（-x）=-f（x），由此方程恒成立，可得出参数m的方程，解出参数的值，再由对数的真数大于0得出x的不等式，解出函数的定义域即可；
（2）由于本题中参数a的取值范围未定，故应对它的取值范围分类讨论，判断函数的单调性再进行证明；
（3）由题设x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值．
【解析】
（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
所以loga=loga，…（2分）
即1-m2x2=1-x2对一切x∈D都成立，…（3分）
所以m2=1，m=±1，…（4分）
由于＞0，所以m=-1…（5分）
所以f（x）=loga，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）…（6分）
（2）当a＞1时，f（x）=loga，任取x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，…（7分）
则f（x1）-f（x2）=loga-loga=loga（+1）-loga（+1）…（9分）
由于x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，所以+1＞+1，得f（x1）＞f（x2），…（10分）
【注】只要写出x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，f（x1）-f（x2）=…=…，得出f（x1）＞f（x2）即可．
即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分）
同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分）
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即loga=loga=1，即=a，…（16分）
所以a=2+且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a-2）⊈（-∞，-1），所以0＜a＜1
因为f（x）在（r，a-2）上为增函数，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）