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火山喷发后,会在喷发区及周边地区地面上堆积起大量火山灰.在一次火山喷发停止后对地...

火山喷发后,会在喷发区及周边地区地面上堆积起大量火山灰.在一次火山喷发停止后对地面火山灰的堆积量进行测量,设定距离喷口中心50m内的圆形区域为第1区,距离喷口中心50m至100m的圆环形区域为第2区,距离喷口中心100m至150m的圆环形区域为第3区,…,距离喷口中心50(n-1)m至50nm的圆环形区域为第n区….测得第1区火山灰堆积重量平均为1000kg/m2,第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少2%,第3区比第2区又减少2%,…,依此类推(题中n∈N*,m表示长度单位米,kg表示重量单位千克).
(1)若第n区平均每平方米火山灰的堆积重量为an(kg),写出an的表达式;
(2)第几区内的火山灰的总重量最大?
(1)由于第1区火山灰堆积重量平均为1000kg/m2,第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少2%,第3区比第2区又减少2%,…,依此类推,故{an}组成以1000为首项,以1-0.02=0.98为公比的等比数列,从而可求an的表达式; (2)先求第n区的面积为bnm2,再求第n区内火山灰的总重量为an•bn=1000•2500π(2n-1)•(0.98)n-1,设cn=(2n-1)•(0.98)n-1,若cn最大,则有,从而可得n的值. 【解析】 (1)由题意,∵第1区火山灰堆积重量平均为1000kg/m2,第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少2%,第3区比第2区又减少2%,…,依此类推, ∴{an}组成以1000为首项,以1-0.02=0.98为公比的等比数列,…(4分) 所以an=1000×0.98n-1.…(6分) (2)设第n区的面积为bnm2, 则bn=π•{(50n)2-[50(n-1)]2}=2500π•(2n-1),…(8分) 则第n区内火山灰的总重量为an•bn=1000•2500π(2n-1)•(0.98)n-1,…(10分) 设cn=(2n-1)•(0.98)n-1,若cn最大,则有, 即,解得, 即49.5≤n≤50.5,…(13分) 所以n=50.即第50区内的火山灰总重量最大.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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