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如图,已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,椭圆的下顶点为A,点P是椭圆上任意一点...

如图,已知椭圆manfen5.com 满分网的左右焦点分别为F1、F2,椭圆的下顶点为A,点P是椭圆上任意一点,,圆M是以PF2为直径的圆.
(1)若圆M过原点O,求圆M的方程;
(2)当圆M的面积为manfen5.com 满分网时,求PA所在直线的方程;
(3)写出一个定圆的方程,使得无论点P在椭圆的什么位置,该定圆总与圆M相切.请写出你的探究过程.

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(1)解法一;因为PF2为圆M的直径,圆M过原点O,可以判断OP⊥OF2,求出P点坐标,又因为M为PF2的中点,可求出M点坐标,以及圆的半径,代入圆的标准方程即可. 解法二:同解法一,可判断OP⊥OF2,则,利用向量的数量积的坐标表示即可求出P点的坐标,后面同解法一. (2)根据圆M的面积为,求出圆半径r,则|PF2|=r,据此可求出P点坐标,再结合A点坐标,就可得到PA所在直线的方程. (3)两圆若始终相切,则圆心距等于半径之和,因为圆M的半径为|MF2|,所以只需找到一点,是M到这点的距离等于|MF2|加上一个定值即可. 【解析】 (1)解法一:因为圆M过原点O,所以OP⊥OF2, 所以P是椭圆的端轴顶点,P的坐标是(0,1)或(0,-1), 于是点M的坐标为或, 圆M的方程为或.   解法二:设P(x1,y1),因为圆M过原点O,所以OP⊥OF2, 所以,所以x1=0,y1=±1,点P(0,±1) 于是点M的坐标为或, 圆M的方程为或.    (2)设圆M的半径为r,由题意,,,所以 设P(x1,y1),则.       联立,解得x1=1(x1=3舍去), 所以点或.                       所以或, 所以直线PA的方程为或 注:直线方程也可写成其他形式,如:与等. (3)以原点为圆心,为半径的定圆始终与圆M相内切. 定圆的方程为x2+y2=2.                   探究过程为:设圆M的半径为r,定圆的半径为R, 因为, 所以当原点为定圆圆心,半径时,定圆始终与圆M相内切.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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