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已知a>1,函数f(x)的图象与函数y=ax-1的图象关于直线y=x对称,g(x...

已知a>1,函数f(x)的图象与函数y=ax-1的图象关于直线y=x对称,g(x)=loga(x2-2x+2).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[m,n](n>m>-1)上的值域为manfen5.com 满分网,求实数p的取值范围;
(3)设函数F(x)=af(x)-g(x),若w≥F(x)对一切x∈(-1,+∞)恒成立,求实数w的取值范围.
(1)由函数f(x)的图象与函数y=ax-1的图象关于直线y=x对称,知函数y=f(x)是函数y=ax-1的反函数,从而可解. (2)利用f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上是增函数,可得 ,,从而可转化为关于x的方程x2+x-p=0在(-1,0)∪(0,1)有两个不同的解,故可解. (3)将w≥F(x)对一切x∈(-1,+∞)恒成立,转化为w≥F(x)max,从而求函数的最大值即可. 【解析】 (1)由题意,函数y=f(x)是函数y=ax-1的反函数,…(2分) 所以f(x)=loga(x+1)(a>1,x>-1).…(4分) (2)因为a>1,所以f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上是增函数,所以,,…(6分) 即,(n>m>-1且m≠0,n≠0),…(7分) 即m、n是方程(x∈(-1,0)∪(0,+∞))的两个不同解.…(8分) 即关于x的方程x2+x-p=0在(-1,0)∪(0,1)有两个不同的解. 所以,解得. (3),…(12分) 令t=x+1,t>0,则x=t-1,于是=,…(14分) 因为t>0,所以,当且仅当时取等号.…(15分) 所以.                 …(16分) 因为w≥F(x)对一切x∈(-1,+∞)恒成立,所以w≥F(x)max,…(17分) 因此w的取值范围是.                    …(18分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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